من الممكن أن تشعر بصعوبة الرياضيات وخصوصاً فيما يعرف بالدوال والمتباينات، ولكن في هذا المقال وهو بحث عن الدوال والمتباينات، سوف تتمكن من فهم الدوال والمتباينات المتعلقة بعلم الجبر الذي يعد من أهم فروع الرياضيات، فالدوال تم اكتشافها من خلال عالم الرياضيات الإنجليزي غوتفريد لايبنتر سنة 1649 ميلادية، بينما كان يريد وصف المنحنيات والكميات التابعة لها مثل الميل عند نقطة محددة على أي مكان في المنحني، ومنذ ذلك الوقت ونحن نحاول تعلم صياغة الدوال وكل المتغيرات التي تتبعها بشتى أنواعها.
الدوال
الدالة هي عبارة عن تمثيل رياضي له علاقة برابطة بين مجموعة من العناصر التي تحمل اسم المنطلق مع مجموعة أخرى تدعى المستقر، والعلاقة الوحيدة تكون بين عنصر المنطلق الذي يرمز له بالرمز x الذي يرتبط بعنصر وحيد أيضاً من المستقر يرمز له بالرمز y، ولهذا تجد أن كل تابع من المنطلقة x مرتبط بعنصر واحد من المستقر y.
لا يمكن أن يرتبط عنصر من عناصر مجموعة المنطلق x إلا بعنصر واحد فقط من عناصر المجموعة مستقر y، ولكن من الممكن أن يرتبط عنصر من عناصر مجموعة المستقر y بجميع عناصر المنطلق x والعكس غير صحيح، مع المراعاة أنه لابد أن نتجنب الخلط بين المستقر والمنطلق، لأنه في هذه الحالة من الممكن أن تعطي الدالة جميع القيم الموجودة في مجموعة المستقر فيتحول إلى المنطلق ليصبح بذلك مجموعة جزئية من مجموعة المستقر.
أنواع الدوال المتغيرةالدالة الثابتة
يكون الاقتران فيها بثابت، ويعني ثبات التابع وعدم تغير قيمته.
الدالة المركبة
يكون الاقتران بها مركب.
الدالة التحليلية
هي دالة ذات قيم عقدية فهي دالة تامة الشكل، ومن أشكالها الدوال اللوغاريتمية والدوال المثلثية بالإضافة إلى الدوال المتعددة ودوال الرفع.
الدالة الضمنية
هي دالة متعددة المتغيرات ولها اقتران تضامني.
الدالة الزوجية
هذه الدالة لها شريك يتعلق بالتماثل بالإضافة إلى اقترانها الزوجي.
الدالة العكسية
تكون عناصر مجموعة المنطلق من هذه الدوال معكوسة للمجال المقابل، فإذا كانت الدالة تناظرية من أ إلى ب فإن هذه الدالة العكسية تصبح ب إلى أ.
الدالة المتطابقة
دالة ترتبط عناصرها بنفسها.
الدالة الشاملة
مجال هذه الدالة متساوي مع المجال المقابل.
الدالة الصريحة
يكون الاقتران بالدالة صريح.
الدالة المستمرة
هذه الدالة بها تغير بسيط حيث يصبح شكلها رياضي أكثر.
الدالة المتناقضة
يكون بهذه الدالة اقتران متناقض.
الدالة الأسية
تكون القيم بها متساوية ولكن لا تساوي الصفر.
الدالة التزايدية
هي دالة رياضية تكون أشكالها في صورة الدالة التكعيبية والدالة التربيعية.
الدالة الفردية
تلك الدالة لها شرط يتعلق بالتماثل كما أن اقترانها يكون فردي.
المتباينات
ما يعرف بالمتباينات أو المتباينات الخطية في علم الجبر بالرياضيات هي المتباينات التي تضم دالة أو العديد من الدوال الخطية، والمتباينات الخطية تشبه المعادلات الخطية، ولكننا نبدل إشارة (=) كي نستخدم إشارات مثل (>أو< أو≤ أو≥) هذه المتباينات تعد فرع من فروع الجبر في علم الرياضيات.
المتباينات الخطية لها العديد من الأنواع التي لا تحصى ولا تعد، وتعد من الموضوعات الرياضية الهامة، وتعد المتباينات من المعادلات التي لها الكثير من الحلول ليست من المعادلات التي لا تحتمل إلى حلاً واحداً، أما عن الإشارات المتباينة فهي تعرف كما يلي:
-(>) تعني أكبر من.
-(<) تعني أصغر من.
-(≤)تعني أصغر من أو يساوي.
-(≥) تعني أكبر من أو يساوي.
ومن الموضوعات التي تطبق بها هذه المتباينات الخطية الموضوعات الهندسية مثل متباينة المثلثين أو متباينة المثلث، وتسمى عملية إيجاد القيم المتغيرة في المتباينة (حل المتباينة).
كما يمكن القول إن المتباينة في الرياضيات تعني العلاقة الرياضية التي تعبر عن الاختلاف في قيمة عنصر أو عنصرين رياضيين.
الدوال
الدالة هي عبارة عن تمثيل رياضي له علاقة برابطة بين مجموعة من العناصر التي تحمل اسم المنطلق مع مجموعة أخرى تدعى المستقر، والعلاقة الوحيدة تكون بين عنصر المنطلق الذي يرمز له بالرمز x الذي يرتبط بعنصر وحيد أيضاً من المستقر يرمز له بالرمز y، ولهذا تجد أن كل تابع من المنطلقة x مرتبط بعنصر واحد من المستقر y.
لا يمكن أن يرتبط عنصر من عناصر مجموعة المنطلق x إلا بعنصر واحد فقط من عناصر المجموعة مستقر y، ولكن من الممكن أن يرتبط عنصر من عناصر مجموعة المستقر y بجميع عناصر المنطلق x والعكس غير صحيح، مع المراعاة أنه لابد أن نتجنب الخلط بين المستقر والمنطلق، لأنه في هذه الحالة من الممكن أن تعطي الدالة جميع القيم الموجودة في مجموعة المستقر فيتحول إلى المنطلق ليصبح بذلك مجموعة جزئية من مجموعة المستقر.
أنواع الدوال المتغيرةالدالة الثابتة
يكون الاقتران فيها بثابت، ويعني ثبات التابع وعدم تغير قيمته.
الدالة المركبة
يكون الاقتران بها مركب.
الدالة التحليلية
هي دالة ذات قيم عقدية فهي دالة تامة الشكل، ومن أشكالها الدوال اللوغاريتمية والدوال المثلثية بالإضافة إلى الدوال المتعددة ودوال الرفع.
الدالة الضمنية
هي دالة متعددة المتغيرات ولها اقتران تضامني.
الدالة الزوجية
هذه الدالة لها شريك يتعلق بالتماثل بالإضافة إلى اقترانها الزوجي.
الدالة العكسية
تكون عناصر مجموعة المنطلق من هذه الدوال معكوسة للمجال المقابل، فإذا كانت الدالة تناظرية من أ إلى ب فإن هذه الدالة العكسية تصبح ب إلى أ.
الدالة المتطابقة
دالة ترتبط عناصرها بنفسها.
الدالة الشاملة
مجال هذه الدالة متساوي مع المجال المقابل.
الدالة الصريحة
يكون الاقتران بالدالة صريح.
الدالة المستمرة
هذه الدالة بها تغير بسيط حيث يصبح شكلها رياضي أكثر.
الدالة المتناقضة
يكون بهذه الدالة اقتران متناقض.
الدالة الأسية
تكون القيم بها متساوية ولكن لا تساوي الصفر.
الدالة التزايدية
هي دالة رياضية تكون أشكالها في صورة الدالة التكعيبية والدالة التربيعية.
الدالة الفردية
تلك الدالة لها شرط يتعلق بالتماثل كما أن اقترانها يكون فردي.
المتباينات
ما يعرف بالمتباينات أو المتباينات الخطية في علم الجبر بالرياضيات هي المتباينات التي تضم دالة أو العديد من الدوال الخطية، والمتباينات الخطية تشبه المعادلات الخطية، ولكننا نبدل إشارة (=) كي نستخدم إشارات مثل (>أو< أو≤ أو≥) هذه المتباينات تعد فرع من فروع الجبر في علم الرياضيات.
المتباينات الخطية لها العديد من الأنواع التي لا تحصى ولا تعد، وتعد من الموضوعات الرياضية الهامة، وتعد المتباينات من المعادلات التي لها الكثير من الحلول ليست من المعادلات التي لا تحتمل إلى حلاً واحداً، أما عن الإشارات المتباينة فهي تعرف كما يلي:
-(>) تعني أكبر من.
-(<) تعني أصغر من.
-(≤)تعني أصغر من أو يساوي.
-(≥) تعني أكبر من أو يساوي.
ومن الموضوعات التي تطبق بها هذه المتباينات الخطية الموضوعات الهندسية مثل متباينة المثلثين أو متباينة المثلث، وتسمى عملية إيجاد القيم المتغيرة في المتباينة (حل المتباينة).
كما يمكن القول إن المتباينة في الرياضيات تعني العلاقة الرياضية التي تعبر عن الاختلاف في قيمة عنصر أو عنصرين رياضيين.
