هناك العديد من خواص القوى في الرياضيات و التي تحتاج إلى دراسات عديدة ، و من أهم خواص القوى و الأسس خاصيتي حاصل الضرب و القسمة .
نبذة عن الرياضات
– يمكن تعريف الرياضيات بأنه علم ، حيث تتميز الرياضيات بالمعرفة المبنية على التسلسل ، فهي تبدأ بالمفاهيم و تنتهي بالنظريات و القوانين التي يتم بناء عليها باقي العلوم الأخرى ، كما أن الرياضيات فن ؛ حيث تتميز الرياضيات بتدرج الأفكار و تسلسلها و تجانسها و تناسقها في بناء المعلومات ، و اعتمادها على بعضها البعض و إخراجها لنماذج رياضية قادرة على توضيح موافق الحياة اليومية .
– كما أن الرياضيات لغة ؛ تعد الرياضيات لغة عالمية ؛ فهي تستخدم الرموز الموحدة لإيصال الافكار بين الأفراد كما أنها تساعد في التواصل الفكري بين أفراد المجتمع ، و الرياضيات أداة ، حيث يكثر استخدام الرياضيات في مجالات الحياة اليومية ، كما أن لها دوراً كبيراً في دراسة الفروع العلمية الأخرى ، فهي أداة تستخدم في تنظيم و تنسيق الأفكار و توضيح البيئة التي يعيش بها الإنسان .
خواص القوى والأسس في الرياضياتخاصية حاصل الضرب
– تنُص خاصية حاصل الضرب على 4 ، بمعنى أنه عند ضرب قوى متساوية الأساسات ، يكون أُس القوة لحاصل الضرب ، مساوياً لمجموع أُسس العوامل ، و مثال على ذلك ما يلي : x^10 * x^5 = x^(3+5) = x^8.
خاصية حاصل القسمة
– تنُص قاعدة حاصل القسمة على أن الأسس يتم طرحها من بعضها عند قسمة عددين متساويين في القاعدة ، كما أنهما مختلفان في القوى ، بمعنى عند قسمة قوى متساوية الأساسات ، و يكون أُس القوة لناتج القسمة مساوياً لفرق أُسس المقسوم و المقسوم عليه ( بحيث يكون أس البسط أكبر من أُس المقام ) ، و مثال على ذلك ما يلي : x^10/x^5 = x^(10-5) = x^5 .
خاصية رفع القوة إلى قوة أخرى
– خاصية رفع القوة إلى قوة أخرى (ضرب الأس في رقم) ، و تنص هذه القاعدة على أنه حين يكون عدداً مرفوعاً إلى قوة معينة ، و يتم ضرب هذه القوة بقوة أخرى فإنه يتم ضرب القوتين ببعض ، كما في المثال الآتي : x^(4^2 ) = x^(4*2) = x^8 .
القوة المرفوعة لعملية ضرب كاملة
– تنُص هذه الخاصية على أن القوة المرفوعة لعلمية ضرب محصورة بين قوسين فإنه من الممكن توزيع هذه القوة على الأعداد المشتركة في عملية الضرب ، بمعنى إن رفع “حاصل ضرب” إلى قوة ، مساوٍ لحاصل ضرب عوامله مرفوعة إلى نفس القوة ، كما في المثال الآتي: x*y) 3=x3 y3).
القوة المرفوعة لعملية قسمة كاملة
– تنُص هذه القاعدة على أن القوة المرفوعة من أجل عملية قسمة محصورة ضمن قوسين ، و أنه بالإمكان توزيع هذه القوة على الأعداد الداخلة ضمن عملية القسمة ، بمعنى إن رفع “ناتج قسمة” إلى قوة، مساوٍ لناتج قسمة عوامله مرفوعة إلى نفس القوة ، كما في المثال الآتي : x/y) ^4 = x^4/y^4) .
قوى العدد 10
– قوى العدد عشرة هي ببساطة صورة أُسية أساسها 10 ، و قوى العدد عشرة مفيدة بشكل خاص حيث أن نظام الأعداد المُستخدم مؤلف من العدد 10 ، و على سبيل المثال العدد \(1\,000\) أكبر من العدد 100 بعشر مرات ، و العدد 100 بدوره أكبر من العدد 10 بعشر مرات ، بعض الأمثلة على قوى العدد عشرة :
– \(10= {10}^{1} \) (عشرة) .
– \(100= {10}^{2}\) (مائة) .
– \(1\,000= {10}^{3}\) (ألف) .
الأعداد في صيغة علمية
– الآن بعد أن ذكرنا على كيفية كتابة الأعداد في صورة قوى العدد عشرة ، سوف نستعرض الاستخدام الشائع لهذه الطريقة في كتابة الأعداد ، و غالبًا ما تكون الأعداد الكبيرة مزعجة في كتابتها و حسابها إذا احتجنا لكتابة كل الأصفار ، و على سبيل المثال أعداد في رتبة الكتلة الشمسية بالكيلوجرام (وهي تقريبا \(2\،000\،000\،000\،000\،000\،000\،000\،000\،000\،000\) كجم ، أي أن العدد 2 متبوع بـ 30 صفر من الكيلوجرامات) ، و لذا من المفيد كتابة مثل هذه الأعداد في صيغة علمية .
– دعونا ننظر أولاً إلى مثال أبسط ، حيث نكتب العدد \(3\،270\) في صيغة علمية ، و يمكننا كتابة العدد \(3\،270\) كحاصل ضرب العاملين 3،27 و \(1\،000\)، لذا يمكننا إعادة كتابة العدد في صيغة علمية بهذه الطريقة : \({10}^{3}\cdot 3،27=1\،000\cdot3،27=3\،270\) .
– العدد في الصيغة العلمية دائما يتكون من قوى العدد عشرة بجانبها عامل أكبر من 1 و لكن في نفس الوقت أقل من 10 ، في المثال أعلاه العدد عشرة مرفوع للقوة 3 بجانبه العامل 3،27 ، و إذا أردنا كتابة كتلة الشمس التقريبية في صيغة علمية يمكننا كتابتها كما يلي : \( {10}^{30}\cdot2\) كجم ، و هو بالطبع أسهل بكثير من كتابة الـ 30 صفر كلها .
نبذة عن الرياضات
– يمكن تعريف الرياضيات بأنه علم ، حيث تتميز الرياضيات بالمعرفة المبنية على التسلسل ، فهي تبدأ بالمفاهيم و تنتهي بالنظريات و القوانين التي يتم بناء عليها باقي العلوم الأخرى ، كما أن الرياضيات فن ؛ حيث تتميز الرياضيات بتدرج الأفكار و تسلسلها و تجانسها و تناسقها في بناء المعلومات ، و اعتمادها على بعضها البعض و إخراجها لنماذج رياضية قادرة على توضيح موافق الحياة اليومية .
– كما أن الرياضيات لغة ؛ تعد الرياضيات لغة عالمية ؛ فهي تستخدم الرموز الموحدة لإيصال الافكار بين الأفراد كما أنها تساعد في التواصل الفكري بين أفراد المجتمع ، و الرياضيات أداة ، حيث يكثر استخدام الرياضيات في مجالات الحياة اليومية ، كما أن لها دوراً كبيراً في دراسة الفروع العلمية الأخرى ، فهي أداة تستخدم في تنظيم و تنسيق الأفكار و توضيح البيئة التي يعيش بها الإنسان .
خواص القوى والأسس في الرياضياتخاصية حاصل الضرب
– تنُص خاصية حاصل الضرب على 4 ، بمعنى أنه عند ضرب قوى متساوية الأساسات ، يكون أُس القوة لحاصل الضرب ، مساوياً لمجموع أُسس العوامل ، و مثال على ذلك ما يلي : x^10 * x^5 = x^(3+5) = x^8.
خاصية حاصل القسمة
– تنُص قاعدة حاصل القسمة على أن الأسس يتم طرحها من بعضها عند قسمة عددين متساويين في القاعدة ، كما أنهما مختلفان في القوى ، بمعنى عند قسمة قوى متساوية الأساسات ، و يكون أُس القوة لناتج القسمة مساوياً لفرق أُسس المقسوم و المقسوم عليه ( بحيث يكون أس البسط أكبر من أُس المقام ) ، و مثال على ذلك ما يلي : x^10/x^5 = x^(10-5) = x^5 .
خاصية رفع القوة إلى قوة أخرى
– خاصية رفع القوة إلى قوة أخرى (ضرب الأس في رقم) ، و تنص هذه القاعدة على أنه حين يكون عدداً مرفوعاً إلى قوة معينة ، و يتم ضرب هذه القوة بقوة أخرى فإنه يتم ضرب القوتين ببعض ، كما في المثال الآتي : x^(4^2 ) = x^(4*2) = x^8 .
القوة المرفوعة لعملية ضرب كاملة
– تنُص هذه الخاصية على أن القوة المرفوعة لعلمية ضرب محصورة بين قوسين فإنه من الممكن توزيع هذه القوة على الأعداد المشتركة في عملية الضرب ، بمعنى إن رفع “حاصل ضرب” إلى قوة ، مساوٍ لحاصل ضرب عوامله مرفوعة إلى نفس القوة ، كما في المثال الآتي: x*y) 3=x3 y3).
القوة المرفوعة لعملية قسمة كاملة
– تنُص هذه القاعدة على أن القوة المرفوعة من أجل عملية قسمة محصورة ضمن قوسين ، و أنه بالإمكان توزيع هذه القوة على الأعداد الداخلة ضمن عملية القسمة ، بمعنى إن رفع “ناتج قسمة” إلى قوة، مساوٍ لناتج قسمة عوامله مرفوعة إلى نفس القوة ، كما في المثال الآتي : x/y) ^4 = x^4/y^4) .
قوى العدد 10
– قوى العدد عشرة هي ببساطة صورة أُسية أساسها 10 ، و قوى العدد عشرة مفيدة بشكل خاص حيث أن نظام الأعداد المُستخدم مؤلف من العدد 10 ، و على سبيل المثال العدد \(1\,000\) أكبر من العدد 100 بعشر مرات ، و العدد 100 بدوره أكبر من العدد 10 بعشر مرات ، بعض الأمثلة على قوى العدد عشرة :
– \(10= {10}^{1} \) (عشرة) .
– \(100= {10}^{2}\) (مائة) .
– \(1\,000= {10}^{3}\) (ألف) .
الأعداد في صيغة علمية
– الآن بعد أن ذكرنا على كيفية كتابة الأعداد في صورة قوى العدد عشرة ، سوف نستعرض الاستخدام الشائع لهذه الطريقة في كتابة الأعداد ، و غالبًا ما تكون الأعداد الكبيرة مزعجة في كتابتها و حسابها إذا احتجنا لكتابة كل الأصفار ، و على سبيل المثال أعداد في رتبة الكتلة الشمسية بالكيلوجرام (وهي تقريبا \(2\،000\،000\،000\،000\،000\،000\،000\،000\،000\،000\) كجم ، أي أن العدد 2 متبوع بـ 30 صفر من الكيلوجرامات) ، و لذا من المفيد كتابة مثل هذه الأعداد في صيغة علمية .
– دعونا ننظر أولاً إلى مثال أبسط ، حيث نكتب العدد \(3\،270\) في صيغة علمية ، و يمكننا كتابة العدد \(3\،270\) كحاصل ضرب العاملين 3،27 و \(1\،000\)، لذا يمكننا إعادة كتابة العدد في صيغة علمية بهذه الطريقة : \({10}^{3}\cdot 3،27=1\،000\cdot3،27=3\،270\) .
– العدد في الصيغة العلمية دائما يتكون من قوى العدد عشرة بجانبها عامل أكبر من 1 و لكن في نفس الوقت أقل من 10 ، في المثال أعلاه العدد عشرة مرفوع للقوة 3 بجانبه العامل 3،27 ، و إذا أردنا كتابة كتلة الشمس التقريبية في صيغة علمية يمكننا كتابتها كما يلي : \( {10}^{30}\cdot2\) كجم ، و هو بالطبع أسهل بكثير من كتابة الـ 30 صفر كلها .
