بقي تقسيم ارسطو طاليس لللا نهاية, الذي ذُكر في الجزء السابق, ساري المفعول لم يجرؤ احد على اعتراضه.
بعد ما يقرب من 2000 عام تم تحدي تقسيم أرسطو للنظرية الرياضية والواقع المادي من قبل أحد كبار المفكرين في عصر النهضة :
غاليلو غاليلي.
في عام 1632 قام بنشر أحد أهم كتبه ، حيث قارن غاليليو بين مركزية الأرض ـ حيث تقع الأرض في مركز النظام الشمسي ـ وبين مركزية الشمس ـ حيث تقع الشمس في المركز. كُتب الكتاب على أنه حوار بين مؤيدي الرؤيتين ، ولكن من الواضح أن جاليليو نفسه كان مؤيدا لنظرية مركزية الشمس , وهو ما سيدخله لاحقا في مشاكل كبيرة مع الكنيسة الكاثوليكية.
ومع ذلك ، فإن الكتاب لا يتعلق فقط بالنظام الشمسي. بل يناقش ايضا النظريات المختلفة فيما يتعلق بموضوع اللانهاية الرياضية. في احد الحورات يُفصح غاليلو عن نظرته الى العلاقة بين الأعداد الصحيحة ومربعاتها: عندما نضرب العدد الصحيح بنفسه ، نحصل على مربع ذلك العدد.
فمربع العدد 1 هو 1 ، ومربع العدد 2 يساوي 4 , بينما مربع العدد 3 يكون 9 فان مربع العدد 4 هو 16...وهكذا. ببداهة يمكن ان نلاحظ أن هناك الكثير من الأعداد الصحيحة التي لا تصلح ان تكون مربعات. على سبيل المثال ، فقط في السلسلة من 1 إلى 10 لا توجد مربعات بقيمة الأرقام 2 و 3 و 5 و 6 و 7 و 8 و 10.
السؤال الآن: هل هناك أعداد صحيحة أكثر من الأعداد المربعة؟
بشكل حدسي ، يجب أن تكون الإجابة نعم ويجب أن تكون النتيجة أن اللانهاية للأعداد الصحيحة أكبر من اللانهاية للأرقام المربعة. لكن غاليلو يعترض ويقول: ان جميع الأعداد الصحيحة لها رقم مربع خاص بها ، وبالتالي فان عدد الاعداد الصحيحة يجب ان يساوي عدد المربعات. فجأة بهذه الحجة اصبحت الان اللا نهاية متساوية بين كلا المجموعتين.
ما هوالصحيح إذن؟
يتخلى غاليلو عن محاولاته لحل المفارقة. بدلا من ذلك يستنتج أنه عندما يتعلق الأمر باللامتناهي ، فلا فائدة من استخدام تعبيرات مثل "أكبر من" أو "تساوي" أو "أقل من".
من المخيب للآمال أن يضطر غاليليو إلى التخلي عن هذا المطلب, فهو يعتقد أن الرياضيات ستكون عالمية. برأيه لم تكن الرياضيات مجرد أداة ابتكرها الإنسان ، وانما هي كانت فعلا موجودة في الطبيعة, أو كما قال هو نفسه:
"كتاب الطبيعة مكتوب بلغة الرياضيات".
في وقت مبكر من العام التالي لنشره وصفت الكنيسة كتاب غاليلو ذلك بالهرطقة بسبب دعوته إلى فكرة مركزية للشمس. لمدة قرنين ، كانت القراءة ممنوعة على الكاثوليك ولم يتم اصدار الكتاب الا في عام 1835. قبل إدراج كتاب غاليلو في القائمة السوداء تم ضمان قراءته من قبل تلميذه ومساعده إيفانجيلستا تورشيللي.
كان تورشيللي فيزيائيا وعالم رياضيات ، ومثل معلمه ، واجه أيضا مفارقة اللانهاية. حدث هذا عندما اعتمد في عام 1644 على شكل هندسي أصبح يعرف فيما بعد باسم بوق توريشيللي ، ويسمى أيضا بوق جبريل.
الشيء الرائع في هذا البوق هو أنه باستخدام الرياضيات البسيطة إلى حد ما , يمكنك حساب أن مساحة سطحه كبيرة بشكل لا نهائي. وايضا مع الرياضيات البسيطة يمكنك إظهار أن حجمه محدود.
هذا يعني أنه إذا تخيلنا أننا نملأ ذلك البوق بالطلاء, ولكن بما ان مساحة سطحه لا متناهية فاننا لن نكون قادرين على ان نغطي الاجزاء الداخلية منه بالطلاء . فنحن امام مثال اخر على تصادم الفرضية الرياضية المجردة مع الحقيقة الحسية. فرياضيا ان ملأ البوق بالطلاء ليس بالمستحيل اذا قلّ ثخن الطلاء بما يتناسب مع المساحة الاخذة بالزيادة. ولكن هذا الفرض مرفوض فيزيائيا لانه عند حد ما سيصبح البوق ضيقا ولا يتسع لاي طلاء مهما كان رقيقا.
بالنسبة لخلفاء غاليلو وتورشيللي كان عليهم مواجهة العديد من التحديات. فقد اورثهم غاليلو معضلة كان عليهم ان ينتظروا ردحا من الزمن لحلها.
وفعلا بعد مئتي عام تم تقديم الحل من قبل الشاب الموهوب جورج كانتور. في أوائل سبعينيات القرن التاسع عشر ، و قبل فترة طويلة من مشاكله العقلية ، عالج كانتور مفارقة غاليلو اللانهائية للاعداد الصحيحة ومربعاتها. لم يكن كانتور مقتنعا باستنتاج غاليلو بانه لا فائدة من مقارنة حجم اللانهاية , لذلك أراد أن يفعل شيئا ما حيال ذلك.
اجرى كانتور تقابلا بين جميع الأرقام في المجموعة 10 و 20 و 30 و 40 و 50 وما إلى ذلك مع الارقام 1 و 2 و 3 و 4 و 5 وما إلى ذلك. 10 تنتمي ، على سبيل المثال ، إلى 1 ، 20 إلى 2 وهكذا. والنتيجة هي سلسلة من الأزواج "بدون ثقوب" بينهما ، أو بعبارة أخرى: هناك العديد من العناصر في مجموعتي الارقام اللامحدودة.
ينطبق الشيء نفسه بالضبط على الأعداد المربعة 1 و 4 و 9 و 16 و 25 وما إلى ذلك. وأيضا الأرقام الزوجية 2 ، 4 ، 6 ، 8 ، 10 وهكذا. والأرقام الفردية 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 وهكذا. كل مجموعة من تلك المجموعات لها نفس الحجم ، ببساطة لأنه يمكننا تشكيل أزواج بينهما والتأكد من أننا لا نتخطى أي شيء.
من حيث المبدأ ، الكميات "قابلة للعد" على الرغم من أنها بالطبع ليست في الواقع ليست كذلك لأنها ستستغرق حرفيا إلى الأبد. الأمر نفسه ينطبق على الكسور والأرقام السالبة وبالتالي على جميع الأعداد التي نسميها نسبية.
ما قدمه كانتور اشبه ما يكون بالثورة العلمية, فقد استطاع ان يجمع كميتين لا متناهئين معا. فمثلا اذا اضفنا الاعداد الزوجية اللا متناهية الى الاعداد الفردية اللا متنهاية ايضا فاننا سنحصل على كمية جديدة وهي الاعداد الطبيعية والتي ايضا لا متناهية. من الواضح أن الكميات الثلاث قابلة للعد ، وبالتالي يمكننا أن نقول أن ∞ + ∞ = ∞.
هنا من المهم أن نفهم أنه لا يمكننا الاعتماد على العبارة الرياضية بنفس الطريقة التي اعتدنا عليها في المعادلات. على سبيل المثال ، لا يمكننا وضع ∞ على جانبي علامة التساوي لأنه بعد عدة خطوات سنحصل على أن ∞ = 0 ، وهذا خطأ واضح.
من خلال إثبات أن اللانهائيات المعدودة متساوية ، أثبت كانتور أيضا أنه ، على النقيض من تأكيد غاليليو ، قد يكون من المنطقي مقارنة حجم اللانهاية. في الوقت نفسه ، وضع الأساس لفرع جديد تماما من الرياضيات ، والذي نسميه اليوم:
نظرية المجموعات.
أدرك جورج كانتور أن طريقته في حساب اللا متناهي تكون صالحة فقط عندما يتعلق الامر بالاعداد النسبية. لكن ماذا عن الاعداد غير النسبية؟ مثل π أو 2 √ سيئ السمعة الذي كلف هيباسوس حياته في اليونان القديمة؟
نترك هذا السؤال الى الجزء الثالث من رحلتنا اللا متناهية
الجزء السابق
بعد ما يقرب من 2000 عام تم تحدي تقسيم أرسطو للنظرية الرياضية والواقع المادي من قبل أحد كبار المفكرين في عصر النهضة :
غاليلو غاليلي.
في عام 1632 قام بنشر أحد أهم كتبه ، حيث قارن غاليليو بين مركزية الأرض ـ حيث تقع الأرض في مركز النظام الشمسي ـ وبين مركزية الشمس ـ حيث تقع الشمس في المركز. كُتب الكتاب على أنه حوار بين مؤيدي الرؤيتين ، ولكن من الواضح أن جاليليو نفسه كان مؤيدا لنظرية مركزية الشمس , وهو ما سيدخله لاحقا في مشاكل كبيرة مع الكنيسة الكاثوليكية.
ومع ذلك ، فإن الكتاب لا يتعلق فقط بالنظام الشمسي. بل يناقش ايضا النظريات المختلفة فيما يتعلق بموضوع اللانهاية الرياضية. في احد الحورات يُفصح غاليلو عن نظرته الى العلاقة بين الأعداد الصحيحة ومربعاتها: عندما نضرب العدد الصحيح بنفسه ، نحصل على مربع ذلك العدد.
فمربع العدد 1 هو 1 ، ومربع العدد 2 يساوي 4 , بينما مربع العدد 3 يكون 9 فان مربع العدد 4 هو 16...وهكذا. ببداهة يمكن ان نلاحظ أن هناك الكثير من الأعداد الصحيحة التي لا تصلح ان تكون مربعات. على سبيل المثال ، فقط في السلسلة من 1 إلى 10 لا توجد مربعات بقيمة الأرقام 2 و 3 و 5 و 6 و 7 و 8 و 10.
السؤال الآن: هل هناك أعداد صحيحة أكثر من الأعداد المربعة؟
بشكل حدسي ، يجب أن تكون الإجابة نعم ويجب أن تكون النتيجة أن اللانهاية للأعداد الصحيحة أكبر من اللانهاية للأرقام المربعة. لكن غاليلو يعترض ويقول: ان جميع الأعداد الصحيحة لها رقم مربع خاص بها ، وبالتالي فان عدد الاعداد الصحيحة يجب ان يساوي عدد المربعات. فجأة بهذه الحجة اصبحت الان اللا نهاية متساوية بين كلا المجموعتين.
ما هوالصحيح إذن؟
يتخلى غاليلو عن محاولاته لحل المفارقة. بدلا من ذلك يستنتج أنه عندما يتعلق الأمر باللامتناهي ، فلا فائدة من استخدام تعبيرات مثل "أكبر من" أو "تساوي" أو "أقل من".
من المخيب للآمال أن يضطر غاليليو إلى التخلي عن هذا المطلب, فهو يعتقد أن الرياضيات ستكون عالمية. برأيه لم تكن الرياضيات مجرد أداة ابتكرها الإنسان ، وانما هي كانت فعلا موجودة في الطبيعة, أو كما قال هو نفسه:
"كتاب الطبيعة مكتوب بلغة الرياضيات".
في وقت مبكر من العام التالي لنشره وصفت الكنيسة كتاب غاليلو ذلك بالهرطقة بسبب دعوته إلى فكرة مركزية للشمس. لمدة قرنين ، كانت القراءة ممنوعة على الكاثوليك ولم يتم اصدار الكتاب الا في عام 1835. قبل إدراج كتاب غاليلو في القائمة السوداء تم ضمان قراءته من قبل تلميذه ومساعده إيفانجيلستا تورشيللي.
كان تورشيللي فيزيائيا وعالم رياضيات ، ومثل معلمه ، واجه أيضا مفارقة اللانهاية. حدث هذا عندما اعتمد في عام 1644 على شكل هندسي أصبح يعرف فيما بعد باسم بوق توريشيللي ، ويسمى أيضا بوق جبريل.
الشيء الرائع في هذا البوق هو أنه باستخدام الرياضيات البسيطة إلى حد ما , يمكنك حساب أن مساحة سطحه كبيرة بشكل لا نهائي. وايضا مع الرياضيات البسيطة يمكنك إظهار أن حجمه محدود.
هذا يعني أنه إذا تخيلنا أننا نملأ ذلك البوق بالطلاء, ولكن بما ان مساحة سطحه لا متناهية فاننا لن نكون قادرين على ان نغطي الاجزاء الداخلية منه بالطلاء . فنحن امام مثال اخر على تصادم الفرضية الرياضية المجردة مع الحقيقة الحسية. فرياضيا ان ملأ البوق بالطلاء ليس بالمستحيل اذا قلّ ثخن الطلاء بما يتناسب مع المساحة الاخذة بالزيادة. ولكن هذا الفرض مرفوض فيزيائيا لانه عند حد ما سيصبح البوق ضيقا ولا يتسع لاي طلاء مهما كان رقيقا.
بالنسبة لخلفاء غاليلو وتورشيللي كان عليهم مواجهة العديد من التحديات. فقد اورثهم غاليلو معضلة كان عليهم ان ينتظروا ردحا من الزمن لحلها.
وفعلا بعد مئتي عام تم تقديم الحل من قبل الشاب الموهوب جورج كانتور. في أوائل سبعينيات القرن التاسع عشر ، و قبل فترة طويلة من مشاكله العقلية ، عالج كانتور مفارقة غاليلو اللانهائية للاعداد الصحيحة ومربعاتها. لم يكن كانتور مقتنعا باستنتاج غاليلو بانه لا فائدة من مقارنة حجم اللانهاية , لذلك أراد أن يفعل شيئا ما حيال ذلك.
اجرى كانتور تقابلا بين جميع الأرقام في المجموعة 10 و 20 و 30 و 40 و 50 وما إلى ذلك مع الارقام 1 و 2 و 3 و 4 و 5 وما إلى ذلك. 10 تنتمي ، على سبيل المثال ، إلى 1 ، 20 إلى 2 وهكذا. والنتيجة هي سلسلة من الأزواج "بدون ثقوب" بينهما ، أو بعبارة أخرى: هناك العديد من العناصر في مجموعتي الارقام اللامحدودة.
ينطبق الشيء نفسه بالضبط على الأعداد المربعة 1 و 4 و 9 و 16 و 25 وما إلى ذلك. وأيضا الأرقام الزوجية 2 ، 4 ، 6 ، 8 ، 10 وهكذا. والأرقام الفردية 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 وهكذا. كل مجموعة من تلك المجموعات لها نفس الحجم ، ببساطة لأنه يمكننا تشكيل أزواج بينهما والتأكد من أننا لا نتخطى أي شيء.
من حيث المبدأ ، الكميات "قابلة للعد" على الرغم من أنها بالطبع ليست في الواقع ليست كذلك لأنها ستستغرق حرفيا إلى الأبد. الأمر نفسه ينطبق على الكسور والأرقام السالبة وبالتالي على جميع الأعداد التي نسميها نسبية.
ما قدمه كانتور اشبه ما يكون بالثورة العلمية, فقد استطاع ان يجمع كميتين لا متناهئين معا. فمثلا اذا اضفنا الاعداد الزوجية اللا متناهية الى الاعداد الفردية اللا متنهاية ايضا فاننا سنحصل على كمية جديدة وهي الاعداد الطبيعية والتي ايضا لا متناهية. من الواضح أن الكميات الثلاث قابلة للعد ، وبالتالي يمكننا أن نقول أن ∞ + ∞ = ∞.
هنا من المهم أن نفهم أنه لا يمكننا الاعتماد على العبارة الرياضية بنفس الطريقة التي اعتدنا عليها في المعادلات. على سبيل المثال ، لا يمكننا وضع ∞ على جانبي علامة التساوي لأنه بعد عدة خطوات سنحصل على أن ∞ = 0 ، وهذا خطأ واضح.
من خلال إثبات أن اللانهائيات المعدودة متساوية ، أثبت كانتور أيضا أنه ، على النقيض من تأكيد غاليليو ، قد يكون من المنطقي مقارنة حجم اللانهاية. في الوقت نفسه ، وضع الأساس لفرع جديد تماما من الرياضيات ، والذي نسميه اليوم:
نظرية المجموعات.
أدرك جورج كانتور أن طريقته في حساب اللا متناهي تكون صالحة فقط عندما يتعلق الامر بالاعداد النسبية. لكن ماذا عن الاعداد غير النسبية؟ مثل π أو 2 √ سيئ السمعة الذي كلف هيباسوس حياته في اليونان القديمة؟
نترك هذا السؤال الى الجزء الثالث من رحلتنا اللا متناهية
الجزء السابق
