النظام العددي او الرقمي هو اداة للتعامل مع مصطلح " كم". عدة ثقافات وبفترات زمنية مختلفة استخدمت عدة وسائل بدءا من "واحد، اثنين، ثلاثة، مجموعة..." الى وسائل متطورة جدا تتعلق بالأرقام العشرية والتي نستخدمها في وقتنا الحالي.
قبل حوالي اربعة الاف عام عاش السومريون والبابليون فيما يعرف اليوم بالعراق وسوريا والاردن. وقد استخدموا في حياتهم اليومية نظام المراتب. وإذا كنا نسميه بنظام المراتب فانه يضع لكل عدد رمزا معينا حسب موضعه. وقد استخدموا الـ "60 " كقاعدة اولية ـ وهو ما يسمى باليوم بقاعدة الستين ـ. وحتى الان يوجد أثر لاستخدام نظام الستين، مثلا ان الساعة تحتوي على 60 دقيقة والتي بدورها تتألف من 60 ثانية. وحتى في قياس الزوايا فان الدورة الكاملة تتألف من 360 درجة، بالرغم من محاولات تحويل الدورة الى 400 درجة مما يعني ان الزاوية القائمة تكون 100 درجة.
ان اسلافنا استخدموا الارقام للحياة العملية، وان كان هناك بعض الثقافات دفعها فضولها لمعرفة علوم الرياضيات واكتشافها. بل ان البعض ترك الحياة العملية ليتفرغ لاكتشاف الرياضيات. هذه الجهود ادت الى اكتشاف ما يعرف اليوم بالجبر وبعض الاشكال الهندسية.
المصريون ومنذ القرن الثالث عشر قبل الميلاد كانوا يستخدمون قاعدة الـ ”10" برموز هيروغليفية، لا سيما وان المصريين كانوا قد طوروا نظاما للتعامل مع الاعداد الكسرية.
ان نظام المراتب العشرية الحالي قد وصل الينا من البابليين، وقد اعيد استخدامه في حضارات الهند المختلفة. وتكمن فائدته في اننا نستطيع التعبير عن اعداد بالغة الصغر او الكبر فقط باستخدام الرموز "1,2,3,4,5,6,7,8,9" الهندي ـ عربية. كما انه باستخدام هذه الرموز تصبح العمليات الحسابية سهلة جدا. ولفهم ذلك سنقوم بدراسة النظام الروماني والذي اوجد بسبب حاجة الرومان لذلك، الا انه من الصعوبة الى درجة لم يتمكن آنذاك سوى المختصين من استعماله.
- النظام الروماني. ان الرموز الاساسية التي استخدمت من قبل الرومان كانت الارقام العشرية (M, C, X, I) وانصاف تلك الاعشار (D, L, V),وللتعبير عن سائر الاعداد يجب التركيب بين تلك الرموز. وقد افترض ان استخدام (III, II, I) جاء عن طريقة ملاحظة الاصابع، و V اخذت من شكل اليد. وإذا ما شابكنا اليدين معا تشكل لنا الرمز X, وبذلك نكون قد استخدمنا اصابعنا العشرة. اما C فهي من كلمة” centrum" والتي تعني المركز. في حين ان M جاءت من كلمة "mille" من اللغة اللاتينية للمئة والالف. كما استخدم الرومانيون رمز الـ S للنصف وكنظام للأعداد الكسرية المبنية على 12.
كما انه يتم استخدام الرموز القديمة في النظام الروماني لكي يتم تعويض الرموز الناقصة، لكن يبدو ان ذلك يتم استخدامه بطريقة منتظمة وموحدة. فقد فضل الرومانيون الاوائل كتابة IIII, في حين ان IV استخدم في وقت لاحق. ان المركب IX استخدم، في حين لو اراد الرومانيون كتابة 8.5 فانهم يستخدمون المركب SIX. وفيما يلي قائمة بالرموز الاساسية في النظام الروماني مع بعض الاضافات من العصور الوسطى:
قبل حوالي اربعة الاف عام عاش السومريون والبابليون فيما يعرف اليوم بالعراق وسوريا والاردن. وقد استخدموا في حياتهم اليومية نظام المراتب. وإذا كنا نسميه بنظام المراتب فانه يضع لكل عدد رمزا معينا حسب موضعه. وقد استخدموا الـ "60 " كقاعدة اولية ـ وهو ما يسمى باليوم بقاعدة الستين ـ. وحتى الان يوجد أثر لاستخدام نظام الستين، مثلا ان الساعة تحتوي على 60 دقيقة والتي بدورها تتألف من 60 ثانية. وحتى في قياس الزوايا فان الدورة الكاملة تتألف من 360 درجة، بالرغم من محاولات تحويل الدورة الى 400 درجة مما يعني ان الزاوية القائمة تكون 100 درجة.
ان اسلافنا استخدموا الارقام للحياة العملية، وان كان هناك بعض الثقافات دفعها فضولها لمعرفة علوم الرياضيات واكتشافها. بل ان البعض ترك الحياة العملية ليتفرغ لاكتشاف الرياضيات. هذه الجهود ادت الى اكتشاف ما يعرف اليوم بالجبر وبعض الاشكال الهندسية.
المصريون ومنذ القرن الثالث عشر قبل الميلاد كانوا يستخدمون قاعدة الـ ”10" برموز هيروغليفية، لا سيما وان المصريين كانوا قد طوروا نظاما للتعامل مع الاعداد الكسرية.
ان نظام المراتب العشرية الحالي قد وصل الينا من البابليين، وقد اعيد استخدامه في حضارات الهند المختلفة. وتكمن فائدته في اننا نستطيع التعبير عن اعداد بالغة الصغر او الكبر فقط باستخدام الرموز "1,2,3,4,5,6,7,8,9" الهندي ـ عربية. كما انه باستخدام هذه الرموز تصبح العمليات الحسابية سهلة جدا. ولفهم ذلك سنقوم بدراسة النظام الروماني والذي اوجد بسبب حاجة الرومان لذلك، الا انه من الصعوبة الى درجة لم يتمكن آنذاك سوى المختصين من استعماله.
- النظام الروماني. ان الرموز الاساسية التي استخدمت من قبل الرومان كانت الارقام العشرية (M, C, X, I) وانصاف تلك الاعشار (D, L, V),وللتعبير عن سائر الاعداد يجب التركيب بين تلك الرموز. وقد افترض ان استخدام (III, II, I) جاء عن طريقة ملاحظة الاصابع، و V اخذت من شكل اليد. وإذا ما شابكنا اليدين معا تشكل لنا الرمز X, وبذلك نكون قد استخدمنا اصابعنا العشرة. اما C فهي من كلمة” centrum" والتي تعني المركز. في حين ان M جاءت من كلمة "mille" من اللغة اللاتينية للمئة والالف. كما استخدم الرومانيون رمز الـ S للنصف وكنظام للأعداد الكسرية المبنية على 12.
كما انه يتم استخدام الرموز القديمة في النظام الروماني لكي يتم تعويض الرموز الناقصة، لكن يبدو ان ذلك يتم استخدامه بطريقة منتظمة وموحدة. فقد فضل الرومانيون الاوائل كتابة IIII, في حين ان IV استخدم في وقت لاحق. ان المركب IX استخدم، في حين لو اراد الرومانيون كتابة 8.5 فانهم يستخدمون المركب SIX. وفيما يلي قائمة بالرموز الاساسية في النظام الروماني مع بعض الاضافات من العصور الوسطى:
ملاحظة: في العصور الوسطى كانت الرموز تستخدم وفوقها خط افقي (-)، لكني لم اتمكن من كتابته. لذلك في مواصلة البحث سأستخدم الحروف الصغيرة.
الّا انه ليس من السهل التعامل مع الرموز الرومانية. فمثلا لا يمكن قراءة الرمز ( MMMCDXLIIII) الا باستخدام الاقواس (MMM) (CD) (XL) (IIII) فيكون حينها 3444 = 4+40+400+3000
وان كان الرومانيون قد تمكنوا من استخدام تلك الرموز في عملياتهم الحسابية بمساعدة بعض الوسائل والحيل, الا ان الامر ليس بالهين بالنسبة لنا ان نحصل على الجواب الصحيح دون استخدام النظام العشري تم تحويله الى النظام الروماني. مثلا عملية الجمع:
وان كان الرومانيون قد تمكنوا من استخدام تلك الرموز في عملياتهم الحسابية بمساعدة بعض الوسائل والحيل, الا ان الامر ليس بالهين بالنسبة لنا ان نحصل على الجواب الصحيح دون استخدام النظام العشري تم تحويله الى النظام الروماني. مثلا عملية الجمع:
اما ضرب عددين مع بعضها البعض فان ذلك أكثر صعوبة، بل تقريبا غير ممكن حتى للرومانيين انفسهم. فمثلا 394*3444= 1356936
وباستخدام النظام الروماني سنحتاج الى الرموز من العصور الوسطى:
MMMCDXLIIII * CCCXCIIII = mccclvmCMXXXVI
كما انه لم يكن لدى الرومانيين اي رمز للصفر. فلو سألت رومانيا لا يأكل اللحم كم كأس من العصير قد شربت، فسيجيبك كتابة III. ولكن لو سألته كم دجاجة قد اكلت فانه لن يتمكن من الجواب كتابة، لأنه لا يعرف اي رمز للصفر.
ولا يخفى ان بعض الكتب ما زالت تستخدم نظام الترقيم الروماني. كما اننا نجد الرموز الرومانية في احجار الاساس عند البناء. كذلك فان بعض التركيبات لم يستخدمها الرومانيون، مثل MCM < 1900. الا ان ادخالها في وقتنا الراهن لأسباب اسلوبية بحتة. والا لكان الرومانيون قد كتبوا MDCCCC.
ملك فرنسا لويس الرابع عشر، والذي كان يعرف بـ لويس XIV, كان قد اتخذ قرارا بان يعرف باسم لويس XIIII. كما امر بان يكتب الرقم 4 في الساعات IIII.
- التمثيل العشري في الاعداد الكلية. يمكن ان نعرّف العدد البسيط بانه عدد عشري. فالعدد العشري القائم على عشرة باستخدام الاعداد ”0,1,2,3,4,5,6,7,8,9”، تلك الاعداد تكون قائمة على العشرات والاحاد. ولكن يجب ان تكون الاحاد ضمن قاعدة العشرة. عندما نكتب الرقم 394 فانه يمكن توضيح اعداده الجزئية بانه يتألف من 3 مئات و9 عشرات و4 احاد. ويمكن كتابة ذلك بالشكل:
100*3 + 10*9 + 1*4 = 394
كما يمكن كتابة ذلك باستخدام نظام الـ ” الاسم العشري”, أي ان العشرة هي الأساس بقوة عدد معين:
3*102 + 9*101 + 4*100= 394
اذ ان :
0^10 = 1
1^10 = 10
2^10 = 10*10
وبهذا التعبير يتضح جليا مبنى النظام العشري في نظامنا الرقمي, وهو ما يجعل من عملية الجمع والضرب مفهومة نسبيا.
- الفارزة في الاعداد العشرية. حتى الان قمنا بدراسة الاعداد الكلية وطرق كتابتها. لكن كيف نتعامل مع جزء العدد كما في
572/1000 وذلك يعني:
5/10 + 7/100 + 2/1000 = 572/1000
يمكننا في هذه الحالة استخدام الدوال العكسية للاعداد 10, 100 و 1000 باستخدام الاس السالب للعدد 10:
5 *(-1)^10 + 7* (-2)^10 + 2* (-3)^10 = 572/1000 والتي يمكن كتابتها بالشكل: 0,572
الفارزة هنا تشير الى بداية القوة السالبة للاس 10.
عند اضافة ذلك العدد العشري الى 394 فسيكون لدينا 572/1000 + 394 او 394,572.
بالنسبة للاعداد الكبيرة جدا فان تدوين الاعشار يكون طويلا جدا, لذلك فاننا نستخدم في هذه الحالة التدوين العلمي. فمثلا يمكن كتابة 1,356936892 بالشكل: 1,356936892*9^10 والتي عداة ما تكون على شكل 1,356936892*E9 في الاجهزة الحاسبة واجهزة الكمبيوتر. في هذه الحالة فان القوة 9 اقل من الارقام, كما ان الحرف E يرمز الى الاساس عشرة.
احيانا نستخدم اعدادا اكبر, مثل لو اردنا تدوين عدد الذرات المعروفة من الهيدروجين في هذا الكون, فانها تقدر بـ 1,7 * 77^10. بنفس الطريقة, فان العدد 1,7*(-77)^10 ـ مع قوة سالبة ـ عدد صغير جدا, والذي ايضا يتم تدوينه بطريقة علمية. اما كتابة هكذا اعداد بالرموز الرومانية فاننا لا نجرؤ على مجرد التفكير بذلك.
- اعداد الصفر والواحد. حتى وان كان الاساس العشري علميا في الحياة اليومية, فانه لابد من وجود اسس اخرى. النظام الثنائي والذي يستخدم الاساس 2 يقع خلف اسباب تقدم صناعة الكمبيوتر حول العالم. الجميل في النظام الثنائي انه لا يستخدم الا الصفر والواحد في التعبير عن كل الاعداد, الا ان كتابته تصبح طويلا جدا.
كيف نعبر مثلا عن 394 في النظام الثنائي؟ هذه المرة سنستخدم الاساس 2, ومع بعض الجهد يكون لدينا:
1*0+2*1+4*0+8*1+16*0+32*0+64*0+128*1+256*1=394
وفي حال ابقينا فقط على الصفر والواحد فان العدد 394 يكتب : 110001010
ولان التعبير بالنظام الثنائي طويل جدا عادة ما تستخدم اسس اخرى في الحسابات الرياضية, كنظام العد الثماني (بالاساس 8) او نظام العد الستة عشري ( بالاساس 16 ). ففي النظام الثماني نستخدم الرموز (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8). اما في النظام الستة عشري فاننا نستخدم الـ 16 كاساس باستخدام الرموز (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F). ولان العدد 10 يماثله الرمز A فان العدد 394 يمكن ان يكون 18A في النظام الـ 16, كما ان 2748 تساوي ABC.
وباستخدام النظام الروماني سنحتاج الى الرموز من العصور الوسطى:
MMMCDXLIIII * CCCXCIIII = mccclvmCMXXXVI
كما انه لم يكن لدى الرومانيين اي رمز للصفر. فلو سألت رومانيا لا يأكل اللحم كم كأس من العصير قد شربت، فسيجيبك كتابة III. ولكن لو سألته كم دجاجة قد اكلت فانه لن يتمكن من الجواب كتابة، لأنه لا يعرف اي رمز للصفر.
ولا يخفى ان بعض الكتب ما زالت تستخدم نظام الترقيم الروماني. كما اننا نجد الرموز الرومانية في احجار الاساس عند البناء. كذلك فان بعض التركيبات لم يستخدمها الرومانيون، مثل MCM < 1900. الا ان ادخالها في وقتنا الراهن لأسباب اسلوبية بحتة. والا لكان الرومانيون قد كتبوا MDCCCC.
ملك فرنسا لويس الرابع عشر، والذي كان يعرف بـ لويس XIV, كان قد اتخذ قرارا بان يعرف باسم لويس XIIII. كما امر بان يكتب الرقم 4 في الساعات IIII.
- التمثيل العشري في الاعداد الكلية. يمكن ان نعرّف العدد البسيط بانه عدد عشري. فالعدد العشري القائم على عشرة باستخدام الاعداد ”0,1,2,3,4,5,6,7,8,9”، تلك الاعداد تكون قائمة على العشرات والاحاد. ولكن يجب ان تكون الاحاد ضمن قاعدة العشرة. عندما نكتب الرقم 394 فانه يمكن توضيح اعداده الجزئية بانه يتألف من 3 مئات و9 عشرات و4 احاد. ويمكن كتابة ذلك بالشكل:
100*3 + 10*9 + 1*4 = 394
كما يمكن كتابة ذلك باستخدام نظام الـ ” الاسم العشري”, أي ان العشرة هي الأساس بقوة عدد معين:
3*102 + 9*101 + 4*100= 394
اذ ان :
0^10 = 1
1^10 = 10
2^10 = 10*10
وبهذا التعبير يتضح جليا مبنى النظام العشري في نظامنا الرقمي, وهو ما يجعل من عملية الجمع والضرب مفهومة نسبيا.
- الفارزة في الاعداد العشرية. حتى الان قمنا بدراسة الاعداد الكلية وطرق كتابتها. لكن كيف نتعامل مع جزء العدد كما في
572/1000 وذلك يعني:
5/10 + 7/100 + 2/1000 = 572/1000
يمكننا في هذه الحالة استخدام الدوال العكسية للاعداد 10, 100 و 1000 باستخدام الاس السالب للعدد 10:
5 *(-1)^10 + 7* (-2)^10 + 2* (-3)^10 = 572/1000 والتي يمكن كتابتها بالشكل: 0,572
الفارزة هنا تشير الى بداية القوة السالبة للاس 10.
عند اضافة ذلك العدد العشري الى 394 فسيكون لدينا 572/1000 + 394 او 394,572.
بالنسبة للاعداد الكبيرة جدا فان تدوين الاعشار يكون طويلا جدا, لذلك فاننا نستخدم في هذه الحالة التدوين العلمي. فمثلا يمكن كتابة 1,356936892 بالشكل: 1,356936892*9^10 والتي عداة ما تكون على شكل 1,356936892*E9 في الاجهزة الحاسبة واجهزة الكمبيوتر. في هذه الحالة فان القوة 9 اقل من الارقام, كما ان الحرف E يرمز الى الاساس عشرة.
احيانا نستخدم اعدادا اكبر, مثل لو اردنا تدوين عدد الذرات المعروفة من الهيدروجين في هذا الكون, فانها تقدر بـ 1,7 * 77^10. بنفس الطريقة, فان العدد 1,7*(-77)^10 ـ مع قوة سالبة ـ عدد صغير جدا, والذي ايضا يتم تدوينه بطريقة علمية. اما كتابة هكذا اعداد بالرموز الرومانية فاننا لا نجرؤ على مجرد التفكير بذلك.
- اعداد الصفر والواحد. حتى وان كان الاساس العشري علميا في الحياة اليومية, فانه لابد من وجود اسس اخرى. النظام الثنائي والذي يستخدم الاساس 2 يقع خلف اسباب تقدم صناعة الكمبيوتر حول العالم. الجميل في النظام الثنائي انه لا يستخدم الا الصفر والواحد في التعبير عن كل الاعداد, الا ان كتابته تصبح طويلا جدا.
كيف نعبر مثلا عن 394 في النظام الثنائي؟ هذه المرة سنستخدم الاساس 2, ومع بعض الجهد يكون لدينا:
1*0+2*1+4*0+8*1+16*0+32*0+64*0+128*1+256*1=394
وفي حال ابقينا فقط على الصفر والواحد فان العدد 394 يكتب : 110001010
ولان التعبير بالنظام الثنائي طويل جدا عادة ما تستخدم اسس اخرى في الحسابات الرياضية, كنظام العد الثماني (بالاساس 8) او نظام العد الستة عشري ( بالاساس 16 ). ففي النظام الثماني نستخدم الرموز (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8). اما في النظام الستة عشري فاننا نستخدم الـ 16 كاساس باستخدام الرموز (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F). ولان العدد 10 يماثله الرمز A فان العدد 394 يمكن ان يكون 18A في النظام الـ 16, كما ان 2748 تساوي ABC.
