غابرييل كرامر عالم رياضيات، تلقى تعليمه في جنيف، وفي عام 1722 بينما كان لا يزال عمره 18 عاما فقط، حصل على درجة الدكتوراه بعد أن قدم أطروحة عن نظرية الصوت، بعد ذلك بعامين كان يتنافس على الفلسفة في أكاديمية دي كلافين في جنيف، وانتهى به الأمر بمشاركة الرياضيات مع كالاندريني، قام كرامر بتدريس الهندسة والميكانيكا بينما قام كالاندريني بتدريس الجبر وعلم الفلك، أثناء وجوده اقترح كرامر ابتكار كبير قبلته الأكاديمية، وهو أنه قام بتدريس دوراته باللغة الفرنسية بدلا من اللاتينية، وهي اللغة التقليدية للعلماء في ذلك الوقت .
حل نظام المعادلات الخطية باستخدام قاعدة كرامر
عندما نحل أي نظام من المعادلات الخطية، يكون لدينا ثلاث أنواع من الحلول : حل وحيد، أو عدد لا نهائي من الحلول، أو لا يوجد حل، وبالتالي فإننا نستخدم المحددات حتى نعرف إذا كان النظام له حل، أو عدد لا نهائي، أو لا يوجد حل، ونعرف هذا من خلال معرفة قيمة محدد مصفوفة المعاملات، بمعنى أنه لو تساوى مع الصفر، يكون الحل ” لا يوجد حل للنظام أو يوجد عدد لا نهائي من الحلول”، لكن لو لم يساوي صفر فمعناه أنه يوجد حل وحيد للنظام .
طريقة كرامر لحل المحددات
عند إجراء بحث عن قاعدة كرامر، ستجد أنها تستخدم مصفوفة المعاملات حتى تقوم بحل النظام، بمعنى أنه إذا كان لدينا نظام، فسوف ناتي له بمصفوفة المعاملات الخاصة به، مثل : أ س + ب ص = ك، أو ج س + د ص = ل، وهنا س و ص قيم المتغيرات، المطلوب منا أن بحث عن قيمتها، ومصفوفة المعاملات تكون هي معاملات المتغيرات س و ص، لذا سنقوم بترتيبها بالشكل التالي : أ ب ج د، هذه هي مصفوفة المعاملات .
طريقة كرامر لحل معادلتين
الآن لدينا مصفوفة المعاملات وهي: أ، ب، ج، د، وعندنا أيضا الثوابت : ك، ل، لكي نحضر ص، سوف نقوم بإزالة أ و ج من مصفوفة المعاملات، ونضع مكانهم ك و ل، وبالتالي سيصبح يبقى المحدد في الأعلى الـ ك والـ ل مكان أول عمود، والـ ب والـ د كما هم، لكن الـ ص، وهي المتغير الثاني هنقوم فيها بإزالة الـ ب والـ د، ونضع مكانهم الـ ك والـ ل .
ومعنى هذا أن ص هتساوي أ، أما ج فكما هي، وسنضع ك و ل مكان العمود الثاني، ثم سنحضر قيمة المحدد في البسط، على قيمة محدد مصفوفة المعاملات، وبهذا نكون قد أحضرنا قيمة س، وهكذا بالنسبة إلى ص، وعندما يكون لدينا قيم س و ص، سوف نعوض بهم في المعادلتين .
طريقة كرامر لحل ثلاث معادلات
إذا كان لدينا نظام من المعادلات : أ س + ب ص + ج ع = م، ولدينا د س + هـ ص + و ع = ر، ولدينا ك س + ن ص + ل ع = ي، كيف نحل هذا النظام ؟
الحل سيكون من خلال إيجاد الـ س، والـ ص، والـ ع بالشكل التالي : الـ س = محدد مصفوفة المعاملات، بعد أن نقوم بتبديل أول عمود في المصفوفة بعمود الثوابت، والـ ص ستكون استبدال ثاني عمود بعمود الثوابت، والـ ع سوف تكون باستبدال ثالت عمود بعمود الثوابت، ثم سنقسم هذا على قيمة محدد مصفوفة المعاملات .
مثال : 4س + 5ص – 6ص = -14، و 3س – 2ص + 7ع = 47، و 7س – 6ص – 8ع = 15
لدينا الآن عمود الثوابت وهو -14، و 47، و 15، هذا ما سوف نبدله مكان أعمدة مصفوفة المعاملات، حتى نحضر الـ س، والـ ص، والـ ع، وسوف نكتب مصفوفة المعاملات : 4، 3، 7، و 5، -2، -6، ستة، و -6، 7، -8 .
وسنحضر محدد مصفوفة المعاملات، ثم نقك عن طريق ضرب الأقطار وطرحها ويتكون النتيجة 621، بعد ذلك نحضر قيمة الـ س، والـ ص، والـ ع، بقاعدة كرامر، وينحضر قيمة الـ س، من خلال فك المحدد في البسط، وستكون س = خمسة، والـ ص ستكون -2، والـ ع = 4 .
حل نظام المعادلات الخطية باستخدام قاعدة كرامر
عندما نحل أي نظام من المعادلات الخطية، يكون لدينا ثلاث أنواع من الحلول : حل وحيد، أو عدد لا نهائي من الحلول، أو لا يوجد حل، وبالتالي فإننا نستخدم المحددات حتى نعرف إذا كان النظام له حل، أو عدد لا نهائي، أو لا يوجد حل، ونعرف هذا من خلال معرفة قيمة محدد مصفوفة المعاملات، بمعنى أنه لو تساوى مع الصفر، يكون الحل ” لا يوجد حل للنظام أو يوجد عدد لا نهائي من الحلول”، لكن لو لم يساوي صفر فمعناه أنه يوجد حل وحيد للنظام .
طريقة كرامر لحل المحددات
عند إجراء بحث عن قاعدة كرامر، ستجد أنها تستخدم مصفوفة المعاملات حتى تقوم بحل النظام، بمعنى أنه إذا كان لدينا نظام، فسوف ناتي له بمصفوفة المعاملات الخاصة به، مثل : أ س + ب ص = ك، أو ج س + د ص = ل، وهنا س و ص قيم المتغيرات، المطلوب منا أن بحث عن قيمتها، ومصفوفة المعاملات تكون هي معاملات المتغيرات س و ص، لذا سنقوم بترتيبها بالشكل التالي : أ ب ج د، هذه هي مصفوفة المعاملات .
طريقة كرامر لحل معادلتين
الآن لدينا مصفوفة المعاملات وهي: أ، ب، ج، د، وعندنا أيضا الثوابت : ك، ل، لكي نحضر ص، سوف نقوم بإزالة أ و ج من مصفوفة المعاملات، ونضع مكانهم ك و ل، وبالتالي سيصبح يبقى المحدد في الأعلى الـ ك والـ ل مكان أول عمود، والـ ب والـ د كما هم، لكن الـ ص، وهي المتغير الثاني هنقوم فيها بإزالة الـ ب والـ د، ونضع مكانهم الـ ك والـ ل .
ومعنى هذا أن ص هتساوي أ، أما ج فكما هي، وسنضع ك و ل مكان العمود الثاني، ثم سنحضر قيمة المحدد في البسط، على قيمة محدد مصفوفة المعاملات، وبهذا نكون قد أحضرنا قيمة س، وهكذا بالنسبة إلى ص، وعندما يكون لدينا قيم س و ص، سوف نعوض بهم في المعادلتين .
طريقة كرامر لحل ثلاث معادلات
إذا كان لدينا نظام من المعادلات : أ س + ب ص + ج ع = م، ولدينا د س + هـ ص + و ع = ر، ولدينا ك س + ن ص + ل ع = ي، كيف نحل هذا النظام ؟
الحل سيكون من خلال إيجاد الـ س، والـ ص، والـ ع بالشكل التالي : الـ س = محدد مصفوفة المعاملات، بعد أن نقوم بتبديل أول عمود في المصفوفة بعمود الثوابت، والـ ص ستكون استبدال ثاني عمود بعمود الثوابت، والـ ع سوف تكون باستبدال ثالت عمود بعمود الثوابت، ثم سنقسم هذا على قيمة محدد مصفوفة المعاملات .
مثال : 4س + 5ص – 6ص = -14، و 3س – 2ص + 7ع = 47، و 7س – 6ص – 8ع = 15
لدينا الآن عمود الثوابت وهو -14، و 47، و 15، هذا ما سوف نبدله مكان أعمدة مصفوفة المعاملات، حتى نحضر الـ س، والـ ص، والـ ع، وسوف نكتب مصفوفة المعاملات : 4، 3، 7، و 5، -2، -6، ستة، و -6، 7، -8 .
وسنحضر محدد مصفوفة المعاملات، ثم نقك عن طريق ضرب الأقطار وطرحها ويتكون النتيجة 621، بعد ذلك نحضر قيمة الـ س، والـ ص، والـ ع، بقاعدة كرامر، وينحضر قيمة الـ س، من خلال فك المحدد في البسط، وستكون س = خمسة، والـ ص ستكون -2، والـ ع = 4 .
